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克罗内克函数

数学术语

在数学中，克罗内克函数（又称克罗内克δ函数、克罗内克δ）是一个内链二元函数，得名于德国数学家利奥波德·克罗内克。克罗内克函数的自变量（输入值）一般是两个整数，如果两者相等，则其输出值为1，否则为0。

简介
在数学中，克罗内克函数（又称克罗内克δ函数、克罗内克δ） 是一个二元函数，得名于德国数学家利奥波德·克罗内克。克罗内克函数的自变量（输入值）一般是两个整数，如果两者相等，则其输出值为1，否则为0。
克罗内克函数的值一般简写为 。
克罗内克函数和狄拉克δ函数都使用δ作为符号，但是克罗内克δ用的时候带两个下标，而狄拉克δ函数则只有一个变量。
其它记法
另一种标记方法是使用艾佛森括号（得名于肯尼斯·艾佛森）：
同时，当一个变量为0时，常常会被略去，记号变为 ：
在线性代数中，克罗内克函数可以被看做一个张量，写作 。
数字信号处理
类似的，在数字信号处理中，与克罗内克函数等价的概念是变量为 (整数)的函数：
这个函数代表着一个冲激或单位冲激。当一个数字处理单元的输入为单位冲激时，输出的函数被称为此单元的冲激响应。
性质
克罗内克函数有筛选性：对任意 ：
如果将整数看做一个装备了计数测度的测度空间，那么这个性质和狄拉克δ函数的定义是一样的：
实际上，狄拉克δ函数是根据克罗内克函数而得名的。在信号处理中，两者是同一个概念在不同的上下文中的表现。一般设定 为连续的情况（狄拉克函数） ，而使用i,j,k,l,m, andn等变量一般是在 离散的情况下（克罗内克函数）。
线性代数中的应用
在线性代数中，单位矩阵可以写作 。
在看做是张量时（克罗内克张量），可以写作 。
这个(1,1)向量表示：作为线性映射的单位矩阵；迹数；内积 ；映射 ，将数量乘积表示为外积的形式。
广义克罗内克函数
定义广义克罗内克函数为 矩阵的行列式，以方程式表达为
其中， 是个张量函数，定义为 。
以下列出涉及广义克罗内克函数的一些恒等式：
其中，和是列维-奇维塔符号。
其中，是阶张量。
积分表示
对任意的整数，运用标准的留数计算，可以将克罗内克函数表示成积分的形式：
其中积分的路径是围绕零点逆时针进行。
这个表示方式与下面的另一形式等价：
参见
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